Spanning Tree

Spanning Tree란?

그래프 내의 모든 정점을 포함하느 트리

• Spanning Tree  = 신장 트리 = 스패닝 트리
• Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.
  • 최소연결 : 간선의 수가 적다.
  • n의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n-1)개이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리 형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.

Spanning Tree의 특징

• DFS, BFS을 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있다.
• 하나의 그래프에는 하나 이상의 신장 트리가 존재 할 수 있다.
• Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결 되어 있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.
• 즉 Spanning Tree는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결 한다.

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MST란?

Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

• MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리
• MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.
• 네트워크에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

MST의 특징

• 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
• Spanning 특징을 모두 성립해야 한다.(간선의 갯수:  n-1, 사이클x)
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MST의 구현 방법

1. Kruskal MST 알고리즘

탐욕적인 방법(Greedy Algorithm)을 이용하여 네트워크의 모든 정점을 최비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

[과정]

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.(가장 낮은 가중치 먼저 선택, 사이클형성 간선 제외)
3. 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.

 

0과 1은 이어지면 안된다...

 

 

 

2. Prim MST 알고리즘

시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법

• 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법이다.

[과정]

1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST(최소 비용 신장 트리) 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
3. 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.